フローティングライセンスの運用でクライアント側から使用ユーザーを特定する方法はありますか？

クライアント側から直接的に使用者を確認する方法はございません。

運用での回避となりますが、サーバー側のライセンス管理ツール「LASY」のログの出力を利用します。
「LASY」のログ出力を有効にし、クライアント側から参照できる共有フォルダ上にログファイルを出力します。
クライアント側から共有フォルダのログファイルを参照し使用状況をご確認ください。